Сергей Дмитриевич Ёлшин родился 27 марта 1952 года в г. Новокуйбышевске Самарской области. В 1969 году окончил среднюю школу и поступил в Куйбышеский авиационный институт на факультет «Двигатели летательных аппаратов». В 1975 году окончил институт, получив квалификацию инженера-механика по двигателям летательных аппаратов. Проходил преддипломную практику, выполнял и защищал дипломный проект в НИАИ (ныне – ФКП «Гк НИПАС»).
С 1976 по 1978 год проходил военную службу в рядах Советской Армии в войсках РВСН во Львовской области. Демобилизовавшись в 1978 году, вернулся на работу в ФКП «Гк НИПАС». Работал в должности старшего инженера, начальника сектора специальных измерений. С 1987 по 1994 год работал заместителем главного инженера.
В 1994 году перешел на должность директора вновь созданного Белоозерского муниципального предприятия коммунального хозяйства (БМПКХ) «Энергия». В 2000 году вернулся на работу в ФКП «Гк НИПАС» на должность заместителя главного инженера. В 2004 году перешел на должность директора Муниципального унитарного предприятия (МУП) «Белоозерское ЖКХ». С 2005 по 2008 года вновь трудился на должности заместителя главного инженера ФКП «Гк НИПАС». С декабря 2008 года до октября 2009 года – заместитель, а затем первый заместитель главы администрации муниципального образования «Городское поселение «Белоозерский». С 13 ноября 2009 года – глава администрации муниципального образования «городское поселение Белоозерский».
Женат. Двое взрослых сыновей.